f(x) = ln (9-5x) হলে-
i. $9-5x\ge 0$ এর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত
ii. ডোমেন $\left(-\infty ,\frac{9}{5}\right)$
iii. রেঞ্জ $\left(0, \infty \right)$
নিচের কোনটি সঠিক?

একটি স্বাভাবিক লগারিদম ফাংশন \(f(x) = \ln(u)\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য, এর আর্গুমেন্ট \(u\) অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে (অর্থাৎ, \(u > 0\))। শূন্য বা ঋণাত্মক মানের জন্য লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়।

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো \(f(x) = \ln (9-5x)\) ।

এখন, প্রতিটি বিবৃতি বিশ্লেষণ করা যাক:

বিবৃতি i. \(9-5x \ge 0\) এর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত

    
• লগারিদম ফাংশনের সংজ্ঞায়িত হওয়ার শর্ত অনুযায়ী, আর্গুমেন্টটি অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে, শূন্যের সমান বা বড় নয়। অর্থাৎ, \(9-5x > 0\) হতে হবে।
    
• অতএব, বিবৃতি i. ভুল।

বিবৃতি ii. ডোমেন \((-\infty, \frac{9}{5})\)

    
• ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য শর্ত হলো:
    
• \(9-5x > 0\)
    
• \(-5x > -9\)
    
• উভয় পক্ষকে \(-5\) দ্বারা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হবে:
    
• \(x < \frac{-9}{-5}\)
    
• \(x < \frac{9}{5}\)
    
• সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেন হলো \((-\infty, \frac{9}{5})\) ।
    
• অতএব, বিবৃতি ii. সঠিক।

বিবৃতি iii. রেঞ্জ \((0, \infty)\)

    
• যেকোনো লগারিদম ফাংশন, যেমন \(y = \ln(u)\), এর রেঞ্জ (range) বা পাল্লা হলো সকল বাস্তব সংখ্যা। অর্থাৎ, এর রেঞ্জ \((-\infty, \infty)\) ।
    
• \((0, \infty)\) সাধারণত এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন বা ঘাত ফাংশনের রেঞ্জ হয়ে থাকে, লগারিদম ফাংশনের নয়।
    
• অতএব, বিবৃতি iii. ভুল।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, শুধুমাত্র বিবৃতি ii সঠিক।